Introduction
Avant de démontrer que qu’une primitive est dérivable, il est important de comprendre ce que cela signifie. Une primitive d’une fonction est une fonction dont la dérivée est égale à la fonction initiale. Pour montrer qu’une primitive est dérivable, il existe des méthodes et des techniques spécifiques à suivre. Dans cet article, nous allons explorer ces méthodes et fournir des exemples concrets pour clarifier le processus.
Démonstration de la dérivabilité d’une primitive
Pour montrer qu’une primitive est dérivable, il faut vérifier que la fonction est continue sur un intervalle donné. Ensuite, il faut calculer la dérivée de la fonction pour confirmer qu’elle correspond bien à la fonction initiale. Voici les étapes à suivre :
Étape 1 : Vérification de la continuité de la fonction
Avant de montrer que la primitive est dérivable, il est essentiel de s’assurer que la fonction est continue sur l’intervalle considéré. Une fonction continue est une fonction dont le graphe ne présente pas de sauts ou de trous. Si la fonction n’est pas continue, il est impossible de montrer qu’elle est dérivable.
Étape 2 : Calcul de la dérivée de la fonction
Une fois la continuité de la fonction vérifiée, il est temps de calculer sa dérivée. La dérivée d’une fonction est le taux de variation de cette fonction. Si la dérivée correspond à la fonction initiale, alors la primitive est dérivable.
Exemple :
Considérons la fonction f(x) = x^2. Pour montrer que sa primitive est dérivable, nous devons d’abord vérifier sa continuité sur l’ensemble des réels. Comme la fonction est polynomiale, elle est continue partout. Ensuite, nous calculons la dérivée de f(x) = x^2, qui est f'(x) = 2x. On constate que la dérivée correspond bien à la fonction initiale, donc la primitive est dérivable.
Conclusion
En suivant les étapes décrites ci-dessus, il est possible de montrer qu’une primitive est dérivable. Il est essentiel de vérifier la continuité de la fonction et de calculer sa dérivée pour confirmer cette propriété. Les exemples concrets permettent de mieux comprendre le processus et d’appliquer ces notions à d’autres fonctions. N’oubliez pas de toujours vérifier la continuité et la dérivabilité des fonctions avant d’affirmer qu’une primitive est dérivable.