Introduction
Avant de déterminer si une fonction est définie sur un intervalle, il est important de comprendre ce que signifie exactement cette notion. Une fonction est définie sur un intervalle si elle est définie pour toutes les valeurs de l’intervalle en question. Dans cet article, nous allons expliquer comment justifier si une fonction est définie sur un intervalle et fournir des exemples concrets pour illustrer ce concept.
Définition d’une fonction définie sur un intervalle
Une fonction est dite définie sur un intervalle si pour chaque valeur dans cet intervalle, la fonction renvoie une seule valeur bien déterminée. Pour vérifier si une fonction est définie sur un intervalle, il est nécessaire de prendre en compte deux aspects:
1. Domaine de définition de la fonction
Le premier élément à vérifier est le domaine de définition de la fonction. Il s’agit de l’ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction est définie. Si le domaine de définition de la fonction est inclus dans l’intervalle considéré, alors la fonction est définie sur cet intervalle.
2. Continuité de la fonction
Un autre aspect à prendre en compte est la continuité de la fonction sur l’intervalle en question. Une fonction est continue sur un intervalle si elle ne présente pas de sauts, de trous ou de points d’indétermination sur cet intervalle. Si la fonction est continue sur l’intervalle, alors elle est définie sur celui-ci.
Exemples et cas spécifiques
Prenons l’exemple de la fonction f(x) = x². Cette fonction est définie pour tous les réels, donc son domaine de définition est l’ensemble des réels. Par conséquent, la fonction f(x) = x² est définie sur tout intervalle de la forme [-∞, +∞]. De même, la fonction g(x) = 1/x est définie pour tous les réels non nuls, donc elle est définie sur l’intervalle (-∞, 0) union (0, +∞).
Solutions
Pour justifier si une fonction est définie sur un intervalle, il est important de suivre les étapes suivantes:
1. Déterminer le domaine de définition de la fonction
Identifiez les valeurs pour lesquelles la fonction est définie. Assurez-vous que ces valeurs sont incluses dans l’intervalle considéré.
2. Vérifier la continuité de la fonction
Examinez si la fonction présente des discontinuités ou des points d’indétermination sur l’intervalle en question. Si la fonction est continue sur cet intervalle, alors elle est définie sur celui-ci.
Informations complémentaires
Il est important de noter que certaines fonctions peuvent ne pas être définies sur certains intervalles en raison de discontinuités, de singularités ou d’autres restrictions. Dans ce cas, il est nécessaire de prendre en compte ces spécificités pour déterminer si la fonction est définie sur un intervalle donné.
Questions fréquemment posées
Q: Que faire si une fonction présente des discontinuités sur un intervalle
R: Dans ce cas, il est important d’identifier les points de discontinuité et d’évaluer si la fonction est définie au voisinage de ces points. Il est également possible de définir la fonction par morceaux sur l’intervalle en question.
Q: Comment savoir si une fonction est continue sur un intervalle donné
R: Pour vérifier la continuité d’une fonction sur un intervalle, il est nécessaire de vérifier l’existence de limites à gauche et à droite en tout point de l’intervalle, ainsi que la continuité en ces points.