La notion de famille libre génératrice
Une famille libre dans un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs qui ne peuvent pas être exprimés comme combinaisons linéaires des autres vecteurs de cet ensemble. Une famille libre est dite génératrice lorsque chaque vecteur de l’espace vectoriel peut être exprimé comme combinaison linéaire des vecteurs de cette famille.
Exemple concret
Prenons par exemple l’espace vectoriel ℝ². La famille {(1,0), (0,1)} est libre, car aucun des vecteurs ne peut être obtenu en combinant linéairement l’autre. Cependant, cette famille n’est pas génératrice car elle ne peut pas engendrer tous les vecteurs de ℝ².
Les conditions pour qu’une famille soit génératrice
Pour qu’une famille soit génératrice, il faut que tout vecteur de l’espace vectoriel puisse être obtenu comme combinaison linéaire des vecteurs de cette famille. Autrement dit, aucun vecteur ne doit être exclu de l’espace vectoriel engendré par la famille.
Exemple d’une famille génératrice
Dans ℝ², la famille {(1,0), (0,1), (1,1)} est à la fois libre et génératrice. En effet, tout vecteur de ℝ² peut être exprimé comme combinaison linéaire de ces trois vecteurs.
Solutions si une famille n’est pas génératrice
Si une famille n’est pas génératrice, il est possible d’ajouter des vecteurs supplémentaires pour la rendre génératrice. Il est important de choisir ces nouveaux vecteurs de manière à ce qu’ils ne soient pas linéairement dépendants des vecteurs existants.
En conclusion, toute famille libre n’est pas nécessairement génératrice. Pour qu’une famille soit génératrice, il est essentiel que chaque vecteur de l’espace vectoriel puisse être obtenu comme combinaison linéaire des vecteurs de cette famille.