Introduction
Pour montrer qu’une fonction est positive sur un intervalle, il existe plusieurs méthodes et techniques que nous allons explorer dans cet article. Nous aborderons des exemples spécifiques et des cas particuliers pour vous aider à comprendre comment procéder.
Méthode des variations
La méthode des variations est l’une des façons les plus courantes de montrer qu’une fonction est positive sur un intervalle. Pour ce faire, il vous suffit de déterminer les variations de la fonction sur l’intervalle en question. Si la fonction est croissante sur cet intervalle, alors elle sera positive. En revanche, si la fonction est décroissante, elle sera négative. Voici un exemple concret pour illustrer cette méthode :
Prenons la fonction f(x) = x^2 sur l’intervalle [0, +∞[. Calculons la dérivée de cette fonction : f'(x) = 2x. En étudiant le signe de cette dérivée, nous pouvons voir que f(x) est croissante sur l’intervalle [0, +∞[, donc elle est positive sur cet intervalle.
Test du signe
Une autre méthode efficace pour montrer qu’une fonction est positive sur un intervalle est le test du signe. Cette méthode consiste à trouver les zéros de la fonction et à étudier le signe de la fonction entre ces zéros. Si la fonction est strictement positive entre ces zéros, alors elle sera positive sur l’intervalle considéré. Voici un exemple pour illustrer cette méthode :
Considérons la fonction g(x) = x^2 – 4x + 3 sur l’intervalle ]1, 3[. Trouvons les zéros de cette fonction en résolvant g(x) = 0, ce qui nous donne x = 1 et x = 3. En étudiant le signe de g(x) entre ces deux zéros, nous pouvons constater que g(x) est positif sur l’intervalle ]1, 3[, donc la fonction est positive sur cet intervalle.
Conclusion
En utilisant la méthode des variations et le test du signe, vous pouvez facilement montrer qu’une fonction est positive sur un intervalle donné. Il est important de bien comprendre ces méthodes et de les appliquer correctement pour obtenir des résultats précis. N’hésitez pas à pratiquer sur plusieurs exemples pour bien assimiler ces techniques. Si vous avez des questions supplémentaires sur la façon de montrer qu’une fonction est positive sur un intervalle, n’hésitez pas à nous les poser dans la section des commentaires. Nous serons heureux de vous aider davantage