Introduction
Un espace vectoriel est souvent décrit comme étant de dimension finie lorsque la famille de vecteurs qui le génère est finie. Cependant, il existe des cas où un espace vectoriel n’est pas de dimension finie. Dans cet article, nous allons explorer les différentes méthodes pour montrer qu’un espace vectoriel n’est pas de dimension finie.
1. Utiliser des familles infinies de vecteurs linéairement indépendants
Une méthode courante pour montrer qu’un espace vectoriel n’est pas de dimension finie est d’utiliser des familles infinies de vecteurs linéairement indépendants. Par exemple, dans l’espace vectoriel des polynômes, on peut montrer que la famille des polynômes de degré n pour tout entier n est une famille infinie de vecteurs linéairement indépendants, ce qui implique que l’espace vectoriel des polynômes n’est pas de dimension finie.
2. Utiliser des sous-espaces infinis
Une autre méthode pour montrer qu’un espace vectoriel n’est pas de dimension finie est d’utiliser des sous-espaces infinis. Par exemple, dans l’espace vectoriel des fonctions continues sur un intervalle donné, on peut montrer que l’espace des fonctions polynômiales est un sous-espace infini, ce qui implique que l’espace vectoriel des fonctions continues n’est pas de dimension finie.
3. Utiliser des arguments de cardinalité
Enfin, une autre méthode pour montrer qu’un espace vectoriel n’est pas de dimension finie est d’utiliser des arguments de cardinalité. Par exemple, on peut montrer que l’espace vectoriel des séries convergentes de réels est de dimension infinie en montrant qu’il existe une famille infinie de séries linéairement indépendantes.
Conclusion
En conclusion, il existe différentes méthodes pour montrer qu’un espace vectoriel n’est pas de dimension finie. En utilisant des familles infinies de vecteurs linéairement indépendants, des sous-espaces infinis ou des arguments de cardinalité, il est possible de démontrer que certains espaces vectoriels ne sont pas de dimension finie. Il est important de bien comprendre ces concepts pour une meilleure appréhension des espaces vectoriels et de leurs propriétés.