Comment montrer que c’est une famille génératrice
Une famille génératrice est un ensemble de vecteurs qui permet de générer tous les éléments d’un espace vectoriel par combinaisons linéaires. Pour montrer qu’une famille donnée est une famille génératrice, il existe plusieurs méthodes et techniques à suivre.
Méthode 1: Utiliser la définition
Pour montrer qu’une famille F de vecteurs est une famille génératrice d’un espace vectoriel E, il faut vérifier que tout vecteur de E peut s’écrire comme combinaison linéaire des vecteurs de F. Autrement dit, tout vecteur v de E peut s’écrire comme v = a1*v1 + a2*v2 + … + an*vn, où v1, v2, …, vn sont les vecteurs de F et a1, a2, …, an sont des scalaires.
Méthode 2: Utiliser le rang
Une autre méthode pour montrer qu’une famille F est une famille génératrice est de calculer le rang de la famille. Si le rang de F est égal à la dimension de l’espace vectoriel E, alors F est une famille génératrice de E. Le rang d’une famille de vecteurs est le nombre maximal de vecteurs linéairement indépendants de la famille.
Exemple:
Soit F = {(1,0), (0,1)} une famille de vecteurs de R^2. Pour montrer que F est une famille génératrice de R^2, on peut vérifier que tout vecteur de R^2 peut s’écrire comme combinaison linéaire de (1,0) et (0,1). Par exemple, le vecteur (2,3) peut s’écrire comme 2*(1,0) + 3*(0,1).
Solution:
Ainsi, en montrant que tout vecteur de R^2 peut s’écrire comme combinaison linéaire des vecteurs de F, on prouve que F est une famille génératrice de R^2.
Conclusion:
En suivant ces méthodes et en vérifiant les conditions nécessaires, il est possible de montrer qu’une famille de vecteurs est une famille génératrice d’un espace vectoriel. Il est important de bien comprendre les concepts de combinaison linéaire et de rang pour mener à bien ces démonstrations.