La monotonie en mathématiques est un concept essentiel qui permet de décrire le comportement d’une fonction sur un intervalle donné. Une fonction est dite monotone si elle garde un sens constant sur cet intervalle, c’est-à-dire qu’elle augmente constamment, diminue constamment ou reste constante.
Définition de la monotonie en maths
La monotonie d’une fonction peut être décrite selon deux cas:
– Une fonction est dite croissante si pour tout x et y dans son domaine de définition, tels que x
Prenons par exemple la fonction f(x) = x². Cette fonction est croissante sur son domaine de définition car pour tout x et y tels que x
Il peut arriver que sur certains intervalles, une fonction ne soit ni croissante ni décroissante. Dans ce cas, on parle de fonction non monotone, ou de fonction oscillante.
# Exemple
La fonction sin(x) est un exemple de fonction oscillante, elle varie constamment entre -1 et 1 sans garder une direction constante.
Solutions et cas particuliers
Il peut arriver que certaines fonctions ne soient ni monotones ni oscillantes sur tout leur domaine de définition. Dans ce cas, il est nécessaire de diviser le domaine en sous-intervalles sur lesquels la fonction est monotone ou oscillante.
# Exemple
La fonction f(x) = x³ – 3x² est croissante sur l’intervalle ]-∞, 0] et décroissante sur l’intervalle [0, +∞]. En divisant le domaine en deux sous-intervalles, on peut déterminer le comportement de la fonction plus précisément.
En conclusion, la monotonie en mathématiques est un concept important pour étudier le comportement des fonctions sur un intervalle donné. Il permet de déterminer si une fonction est croissante, décroissante ou oscillante, et d’analyser son évolution de manière précise