Introduction
Lorsque l’on étudie des suites numériques, il est souvent nécessaire de déterminer si elles sont croissantes, c’est-à-dire si chaque terme est supérieur ou égal à son prédécesseur. Mais comment peut-on prouver de manière formelle qu’une suite est croissante Dans cet article, nous allons expliquer les différentes méthodes et techniques à suivre pour répondre à cette question.
Définition
Avant de rentrer dans le vif du sujet, il est important de rappeler la définition d’une suite croissante. On dit qu’une suite numérique ( (u_n) ) est croissante si pour tout entier naturel ( n ), on a ( u_{n+1} geq u_n ).
Méthode des variations
Une des méthodes les plus utilisées pour prouver qu’une suite est croissante est la méthode des variations. Pour ce faire, il suffit de montrer que la dérivée de la fonction ( f(n) = u_n ) est positive pour tout entier naturel ( n ).
Exemple:
Prenons la suite définie par ( u_n = n^2 ). Pour prouver qu’elle est croissante, calculons la dérivée de la fonction associée ( f(n) = n^2 ). On a ( f'(n) = 2n ), qui est toujours positif pour tout entier naturel ( n ). Par conséquent, la suite ( n^2 ) est croissante.
Récurrence
Une autre méthode couramment utilisée est la méthode de récurrence. Pour cela, il faut prouver que la suite est croissante pour ( n = 0 ), puis supposer que la suite est croissante pour un certain ( n ) et démontrer qu’elle l’est aussi pour ( n + 1 ).
Exemple:
Prenons la suite définie par ( u_0 = 1 ) et ( u_{n+1} = u_n + 2 ). Pour prouver que cette suite est croissante, montrons que ( u_{n+1} geq u_n ). On a ( u_{n+1} = u_n + 2 ), ce qui est bien supérieur à ( u_n ). Ainsi, la suite est croissante.
Conclusion
En suivant ces différentes méthodes, il est possible de prouver de manière formelle qu’une suite est croissante. Il est important de bien comprendre les définitions et les propriétés des suites numériques pour appliquer correctement ces méthodes. En cas de doute, n’hésitez pas à faire des exercices pratiques pour vous entraîner et vérifier votre compréhension.
Foire aux questions
Comment prouver qu’une suite est croissante
Pour prouver qu’une suite est croissante, vous pouvez utiliser la méthode des variations en calculant la dérivée de la fonction associée à la suite. Vous pouvez également utiliser la méthode de récurrence en montrant que la suite est croissante pour ( n = 0 ) et en démontrant que ( u_{n+1} geq u_n ) pour tout ( n ).
Quelles sont les principales méthodes pour prouver qu’une suite est croissante
Les principales méthodes pour prouver qu’une suite est croissante sont la méthode des variations et la méthode de récurrence. Ces deux techniques sont largement utilisées en mathématiques pour démontrer la croissance d’une suite numérique