La monotonie d’une fonction est un concept clé en analyse mathématique, notamment pour déterminer si une fonction est croissante sur un intervalle donné. Pour montrer que la fonction f est croissante sur un intervalle, il est essentiel de suivre des étapes précises et de comprendre les règles qui régissent ce concept.
# Définition de la croissance d’une fonction
Avant de pouvoir montrer que f est croissante sur un intervalle, il est important de rappeler ce que signifie exactement croître pour une fonction. Une fonction f est dite croissante sur un intervalle I si, pour tous les réels x et y dans I tels que x < y, alors f(x) ≤ f(y). Autrement dit, la fonction f augmente ou reste constante lorsque ses arguments augmentent.
# Méthodes pour montrer la croissance d’une fonction
Il existe plusieurs méthodes pour démontrer que f est croissante sur un intervalle. Voici quelques approches couramment utilisées :
1. **Détermination du signe de la dérivée**
Une façon courante de montrer que f est croissante sur un intervalle est de déterminer le signe de la dérivée de f. Si la dérivée est positive sur tout l’intervalle, alors la fonction est croissante.
2. **Étude des variations de la fonction**
En examinant les variations de la fonction sur l’intervalle en question, on peut déterminer si la fonction est croissante. Si f'(x) ≥ 0 pour tout x dans l’intervalle, alors f est croissante.
# Exemple concret
Prenons par exemple la fonction f(x) = x² sur l’intervalle [0, +∞[. Pour montrer que f est croissante sur cet intervalle, nous pouvons calculer la dérivée de f :
f'(x) = 2x
Comme f'(x) = 2x ≥ 0 pour tout x dans [0, +∞[, on peut en déduire que f est croissante sur cet intervalle.
# Conclusion
En utilisant des outils tels que la dérivée et l’étude des variations, il est possible de démontrer de manière rigoureuse que f est croissante sur un intervalle. En suivant ces méthodes et en comprenant les règles de base de la croissance d’une fonction, il devient plus facile de prouver ce type de propriété mathématique