Quand la suite est monotone
Définition de la monotonie
Une suite est dite monotone si ses termes sont tous du même signe et si chacun est inférieur ou égal à son successeur (monotonie croissante) ou si chacun est supérieur ou égal à son successeur (monotonie décroissante).
Exemples de suites monotones
Voici quelques exemples de suites monotones :
- La suite (1, 2, 3, 4, 5, …) est monotone croissante car chaque terme est strictement plus grand que celui qui le précède.
- La suite (100, 80, 60, 40, 20, …) est monotone décroissante car chaque terme est strictement plus petit que celui qui le précède.
Cas spécifiques
Il peut arriver que l’on étudie la monotonie d’une suite pour déterminer son comportement asymptotique. Par exemple, si une suite est croissante et majorée, elle converge vers sa borne supérieure. Si elle est décroissante et minorée, elle converge vers sa borne inférieure.
Solutions
Pour déterminer si une suite est monotone, il est souvent utile de calculer le signe de la différence entre deux termes consécutifs. Si cette différence est toujours positive ou nulle (monotonie croissante) ou toujours négative ou nulle (monotonie décroissante), alors la suite est monotone. Sinon, elle ne l’est pas.
Informations complémentaires
Il est également possible qu’une suite alterne entre des termes positifs et des termes négatifs, sans pour autant être monotone. Dans ce cas, il convient d’étudier plus en détail le comportement de la suite pour en déterminer la monotonie.
Questions fréquemment posées
Comment reconnaître une suite monotone Pour reconnaître une suite monotone, il est important de vérifier que les termes suivent une progression constante dans un sens donné. Si les termes sont tous du même signe et s’organisent de manière croissante ou décroissante, alors la suite est monotone.
Quelle est l’importance de la monotonie des suites en mathématiques La monotonie des suites est un concept fondamental en mathématiques qui permet d’analyser le comportement de ces suites sur le long terme. En comprenant si une suite est croissante, décroissante ou alternée, on peut déduire des informations précieuses sur sa convergence ou sa divergence.