Introduction
Un sous-espace vectoriel est une partie d’un espace vectoriel qui est également un espace vectoriel. Il est donc important de pouvoir déterminer rapidement si un ensemble de vecteurs forme un sous-espace vectoriel. Dans cet article, nous allons vous donner les astuces et méthodes pour savoir si un ensemble est un sous-espace vectoriel.
Définition d’un sous-espace vectoriel
Un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel V est un sous-ensemble non vide H de V, qui est fermé pour l’addition et la multiplication par un scalaire, c’est-à-dire que pour tout vecteur u et v de H et tout scalaire k, u + v et ku appartiennent à H.
Exemple
Considérons l’espace vectoriel ℝ². L’ensemble H={(x,y)∈ℝ²|y=2x} est un sous-espace vectoriel de ℝ² car il contient le vecteur nul (0,0), est stable par addition et par multiplication par un scalaire.
Méthodes pour déterminer si c’est un sous-espace vectoriel
Vérifier que le vecteur nul appartient à H
Pour qu’un ensemble H soit un sous-espace vectoriel, il doit contenir le vecteur nul. Si le vecteur nul n’appartient pas à H, alors H n’est pas un sous-espace vectoriel.
Vérifier la stabilité par addition
Pour vérifier si un ensemble H est un sous-espace vectoriel, il faut s’assurer que pour tout vecteur u et v de H, leur somme u + v est également dans H. Si cela n’est pas vérifié, alors H n’est pas un sous-espace vectoriel.
Vérifier la stabilité par multiplication
Un ensemble H est un sous-espace vectoriel si pour tout vecteur u de H et tout scalaire k, le produit ku est dans H. Si cette propriété n’est pas respectée, alors H n’est pas un sous-espace vectoriel.
Conclusion
En suivant ces méthodes simples, vous serez en mesure de déterminer si un ensemble est un sous-espace vectoriel. Assurez-vous de vérifier toutes les propriétés nécessaires pour qu’un ensemble soit considéré comme un sous-espace vectoriel. Si l’une de ces propriétés n’est pas respectée, alors l’ensemble n’est pas un sous-espace vectoriel. N’hésitez pas à appliquer ces méthodes à différents ensembles pour vous entraîner et mieux comprendre le concept de sous-espace vectoriel